공배수와 최소공배수
1. 공배수와 최소공배수 알아보기
4와 6의 공배수와 최소공배수를 각각 구하시오.
4, 6
- 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
- 6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, …
공배수: 12, 24, …
최소공배수: 12
두 수의 공배수는 최소공배수의 배수이다.
2. 두 자연수의 배수 · 공배수 · 최소공배수 구하기
다음 주어진 두 자연수의 배수, 공배수, 최소공배수를 구하시오.
(1) 3, 4
- 3의 배수: 3, 6, 9, 12, 15, …
- 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, …
3과 4의 공배수: 12, 24, …
3과 4의 최소공배수: 12
(2) 8, 12
- 8의 배수: 8, 16, 24, 32, 40, …
- 12의 배수: 12, 24, 36, 48, …
8과 12의 공배수: 24, 48, …
8과 12의 최소공배수: 24
(3) 10, 15
- 10의 배수: 10, 20, 30, 40, …
- 15의 배수: 15, 30, 45, 60, …
10과 15의 공배수: 30, 60, …
10과 15의 최소공배수: 30
3. 최소공배수를 이용하여 공배수 구하기
다음 두 자연수의 최소공배수를 이용하여 두 자연수의 공배수를 작은 수부터 차례로 3개만 구하시오.
(1) 4와 8
- 4와 8의 최소공배수: 8
- 4와 8의 공배수: 8, 16, 24
(2) 6과 15
- 6과 15의 최소공배수: 30
- 6과 15의 공배수: 30, 60, 90
(3) 12와 20
- 12와 20의 최소공배수: 60
- 12와 20의 공배수: 60, 120, 180
(4) ●와 ▲
- ●와 ▲의 최소공배수: 15
- ●와 ▲의 공배수: 15, 30, 45
(5) ■와 ◆
- ■와 ◆의 최소공배수: 24
- ■와 ◆의 공배수: 24, 48, 72
나눗셈과 소인수를 이용한 최소공배수
1. 나눗셈을 이용하여 최소공배수 구하기
나눗셈을 이용하여 다음 수들의 최소공배수를 구하시오.
(1) 10, 14
10 ÷ 2 = 5
14 ÷ 2 = 7
→ 더 이상 공통으로 나눌 수 없음
최소공배수: 2 × 5 × 7 = 70
(2) 24, 32
24 ÷ 8 = 3
32 ÷ 8 = 4
→ 더 이상 공통으로 나눌 수 없음
최소공배수: 8 × 3 × 4 = 96
(3) 45, 60
45 ÷ 15 = 3
60 ÷ 15 = 4
→ 더 이상 공통으로 나눌 수 없음
최소공배수: 15 × 3 × 4 = 180
(4) 6, 15, 18
6 ÷ 3 = 2
15 ÷ 3 = 5
18 ÷ 3 = 6
6 ÷ 2 = 1
5 ÷ 2 = 5
6 ÷ 2 = 3
→ 더 이상 공통으로 나눌 수 없음
최소공배수: 3 × 2 × 1 × 5 × 3 = 90
(5) 12, 30, 36
12 ÷ 6 = 2
30 ÷ 6 = 5
36 ÷ 6 = 6
6 ÷ 2 = 3
5 ÷ 2 = 5
6 ÷ 2 = 3
→ 더 이상 공통으로 나눌 수 없음
최소공배수: 6 × 2 × 3 × 5 × 3 = 180
(6) 14, 35, 42
14 ÷ 7 = 2
35 ÷ 7 = 5
42 ÷ 7 = 6
6 ÷ 2 = 3
→ 더 이상 공통으로 나눌 수 없음
최소공배수: 7 × 2 × 5 × 3 = 210
2. 소인수의 곱으로 최소공배수 나타내기
다음 수들의 최소공배수를 소인수의 곱으로 나타내시오.
(1)
- 2²
- 2 × 5
가장 큰 지수의 소인수 선택:
- 2², 5¹
최소공배수: 2² × 5
(2)
- 2³ × 3²
- 2² × 5
가장 큰 지수의 소인수 선택:
- 2³, 3², 5¹
최소공배수: 2³ × 3² × 5
(3)
- 3² × 5 × 7
- 2² × 3 × 5
가장 큰 지수의 소인수 선택:
- 2², 3², 5¹, 7¹
최소공배수: 2² × 3² × 5 × 7
(4)
- 2²
- 2 × 5
- 2² × 7
가장 큰 지수의 소인수 선택:
- 2², 5¹, 7¹
최소공배수: 2² × 5 × 7
(5)
- 2 × 3²
- 3 × 5²
- 2² × 3 × 5
가장 큰 지수의 소인수 선택:
- 2², 3², 5²
최소공배수: 2² × 3² × 5²
(6)
- 2³ × 7
- 2² × 3³ × 7
- 2³ × 3² × 7
가장 큰 지수의 소인수 선택:
- 2³, 3³, 7¹
최소공배수: 2³ × 3³ × 7
최소공배수의 활용 문제
1. 버스 시간 문제
어느 버스 터미널에서 두 버스 A, B는 각각 6분, 9분 간격으로 출발한다. 두 버스가 오전 8시에 동시에 출발하였을 때, 처음으로 다시 동시에 출발하는 시각을 구하시오.
2. 열차 시간 문제
어느 역에서 두 열차 A, B가 각각 15분, 20분 간격으로 출발한다. 두 열차가 오전 7시에 동시에 출발하였을 때, 처음으로 다시 동시에 출발하는 시각을 구하시오.
3. 물 주기 날짜 문제
학급에서 화분을 기르는데, 식물 A는 9일에 한 번, 식물 B는 12일에 한 번 물을 준다. 5월 3일에 두 식물에 동시에 물을 주었을 때, 처음으로 다시 동시에 물을 주는 날짜를 구하시오.
4. 세 버스 시간 문제
어느 버스 종점에서 세 버스 A, B, C가 각각 12분, 18분, 24분 간격으로 출발한다. 세 버스가 오전 6시에 동시에 출발하였을 때, 처음으로 다시 동시에 출발하는 시각을 구하시오.
5. 도서관 날짜 문제
민수와 지연은 각각 8일, 12일 간격으로 도서관에 간다. 두 사람이 6월 2일에 도서관에서 만났다면, 처음으로 다시 도서관에서 만나는 날짜를 구하시오.
6. 색종이로 정사각형 만들기
가로의 길이가 18 cm, 세로의 길이가 12 cm인 직사각형 모양의 색종이를 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 가장 작은 정사각형 모양을 만들려고 한다. 다음 물음에 답하시오.
⑴ 정사각형의 한 변의 길이를 구하시오.
⑵ 필요한 색종이의 수를 구하시오.
7. 블록으로 정육면체 만들기
가로의 길이가 24 cm, 세로의 길이가 16 cm, 높이가 8 cm인 직육면체 모양의 블록을 일정한 방향으로 빈틈없이 쌓아서 가장 작은 정육면체 모양을 만들려고 한다. 이때 필요한 블록의 개수를 구하시오.
8. 톱니바퀴 문제 ①
톱니의 수가 각각 18개, 30개인 두 톱니바퀴 A, B가 서로 맞물려 돌 때, 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물리는 것은 두 톱니바퀴가 각각 몇 바퀴를 회전한 후인지 구하시오.
9. 톱니바퀴 문제 ②
톱니의 수가 각각 28개, 42개인 두 톱니바퀴 A, B가 서로 맞물려 돌 때, 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물리는 것은 두 톱니바퀴가 각각 몇 바퀴를 회전한 후인지 구하시오.
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